Mathématiques de base Exemples

$\frac{6 π}{π^{2} - 1} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{6 π}{π^{2} - 1^{2}} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = π$ et $b = 1$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Étape 1.2

Factorisez $π^{2} - π - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{π - 2}{π - 2}$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{π - 1}{π - 1}$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(π + 1) (π - 1) (π - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ par $\frac{π - 2}{π - 2}$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ par $\frac{π - 1}{π - 1}$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π - 2) (π + 1) (π - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(π - 2) (π + 1) (π - 1)$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 π (π - 2) - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 π π + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $6 π π$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (π^{1} π) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6.2.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (π^{1} π^{1}) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 π^{1 + 1} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 π^{2} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π - 3 \cdot - 1}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 6.6

Soustrayez $3 π$ de $- 12 π$ .

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Forme décimale :

$1.49066945 \dots$